വ്യത്യാസം - ഇത് എന്താണ്? എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കണം വ്യത്യസ്ത കണ്ടെത്താൻ?

ഡെറിവേറ്റീവ് സഹിതം അവരുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വ്യത്യാസം - അത് അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ ചില ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ് എന്ന, പ്രധാന വിഭാഗം അനാലിസിസ് എന്ന. പോലെ ഇനെക്സത്രിചബ്ല്യ് ലിങ്ക്ഡ്, വ്യാപകമായി ശാസ്ത്ര സാങ്കേതിക പ്രവർത്തനം വഴിത്താരകളിൽ എഴുന്നേറ്റു മിക്കവാറും എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം ഉപയോഗിക്കുന്ന പല നൂറ്റാണ്ടുകൾ ഇരുവരും.

ഡിഫറൻഷ്യൽ എന്ന ആശയം ആവിർഭാവം

ആദ്യമായി വ്യക്തമായ അത്തരം ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ, സ്ഥാപകരിലൊരാളായ (ഇസഅകൊമ് ംയുതൊനൊമ് സഹിതം) ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ് പ്രശസ്ത ജർമൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഗൊത്ഫ്രിദ് വില്ഗെല്മ് ലെയ്ബ്നിത്സ് ഉണ്ടാക്കി. ആ 17-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് മുമ്പ്. അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു ചടങ്ങിൽ ചില അതിസൂക്ഷ്മമായ 'അവിഭക്ത "വളരെ വ്യക്തമല്ലാത്ത അവ്യക്തവുമായ ആശയം വിലമതിക്കുന്നു താഴെയുള്ള ചടങ്ങിൽ കേവലം കഴിയില്ല, വളരെ ചെറിയ നിരന്തരമായ മൂല്യം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന, ഉപയോഗിച്ച എന്നാൽ പൂജ്യം തുല്യമല്ല. അതുകൊണ്ടുതന്നെ ഫങ്ഷൻ വാദങ്ങളും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കാര്യത്തിൽ പ്രകടിപ്പിച്ച കഴിയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ അവയുടെ ബന്ധപ്പെട്ട വർദ്ധനവിൽ എന്ന അതിസൂക്ഷ്മമായ വർദ്ധനവിൽ എന്ന സങ്കൽപങ്ങളിൽ എന്ന ആമുഖം അൽപ്പം മാത്രം ആയിരുന്നു. ഈ ഘട്ടം രണ്ടു വലിയ ശാസ്ത്രജ്ഞർ മുകളിൽ ഏതാണ്ട് ഒരേ പിടിക്കപ്പെട്ടു.

ശാസ്ത്രം അതിവേഗം വികസ്വര വ്യവസായം സാങ്കേതിക നേരിടാൻ അടിയന്തിര പ്രായോഗിക ബലതന്ത്രം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനായി ആവശ്യം അടിസ്ഥാനത്തിൽ, ന്യൂട്ടൺ ആൻഡ് ലെഇബ്നിജ് ഇത്തരം ആശയങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് നയിച്ച (പ്രത്യേകിച്ച് അറിയപ്പെടുന്ന ദിശയായ ശരീരത്തിന്റെ മെക്കാനിക്കൽ സ്പീഡ് ബന്ധത്തിലും) മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക്, പ്രവർത്തനങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ സാധാരണ വഴികൾ സൃഷ്ടിച്ചു, ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രവർത്തനം ഡിഫറൻഷ്യൽ പോലെ കൂടാതെ അറിയപ്പെടുന്ന ശതമാനം സേ (വേരിയബിൾ) വേഗത അവിഭാജ്യ എന്ന ആശയം നയിച്ചു പാതയിൽ കണ്ടെത്താൻ മുകൾ നിലയിൽ അൽഗോരിതം വിപരീത പ്രശ്നം പരിഹാരം കണ്ടെത്തി ALA.

ലെഇബ്നിജ് ആൻഡ് ന്യൂട്ടന്റെ ആശയം പ്രവൃത്തികളെ ആദ്യം വ്യത്യാസം എന്നു പ്രത്യക്ഷനായി ൽ - വിജയകരമായി രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയുന്ന Δഉ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വർദ്ധനവിൽ Δഹ് അടിസ്ഥാന വാദങ്ങൾ എന്ന ഇന്ക്രിമെന്റ് അനുപാതത്തിലായിരിക്കും. മറ്റു വാക്കുകളിൽ, അവർ ഒരു ഇൻക്രിമെന്റ് ചടങ്ങിൽ ഏതു സമയത്തും വരാം എന്നു (നിർവചനത്തിന്റെ അതിന്റെ ഡൊമെയ്നിൽ) കണ്ടെത്തിയ അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് Δഉ = ക 'കൂടി പ്രകാശിപ്പിക്കുന്ന (X) Δഹ് + αΔഹ് എവിടെ α Δഹ് - ബാക്കി, Δഹ് → പൂജ്യം കാര്യം 0, യഥാർത്ഥ Δഹ് വളരെ വേഗത്തിൽ.

അനാലിസിസ് സ്ഥാപകരായ പ്രകാരം വ്യത്യാസമാണ് - ഈ കൃത്യമായി ഏതെങ്കിലും പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇൻക്രിമെന്റുകളിൽ ആദ്യ പദമാണ്. Δഉ / Δഹ് → Y '(X) - പോലും ഒരു വ്യക്തമാക്കുന്നില്ല പരിധി ആശയം ഇല്ലാതെ സീക്വൻസുകൾ ഡെറിവേറ്റീവ് വ്യത്യസ്ത മൂല്യം Δഹ് വരുമ്പോൾ → 0 പ്രവർത്തിക്കാൻ കുറവും ഇംതുഇതിവെല്യ് ഉതകും.

ശാരീരിക പ്രശ്നങ്ങൾ പഠനത്തിനായി ഒരു ഓക്സിലറി ഉപകരണം കണക്കാക്കുന്നത് ഒരു അപൂര്വ, ഗണിത ദാരുണമായി ആയിരുന്ന ന്യൂട്ടൺ, വ്യത്യസ്തമായി, ലെഇബ്നിജ് കൂടുതൽ ശ്രദ്ധ ഈ ടൂൾകിറ്റിലേക്ക്, വിഷ്വൽ സുഗ്രാഹ്യവും ചിഹ്നങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്ര മൂല്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പെയ്ഡ്. അത് 'അവരുടെ ബന്ധം നിലയിൽ (X) DX, DX, ഒപ്പം വാദം ഫംഗ്ഷൻ ഡെറിവേറ്റീവ്' വ്യത്യാസം ചടങ്ങിൽ ഡി.വൈ.എസ്.പി = y സാധാരണ നൊട്ടേഷനിലോ മുന്നോട്ടുവച്ച (X) = ഡി.വൈ.എസ്.പി / DX അദ്ദേഹം ആയിരുന്നു.

ആധുനിക നിർവചനം

ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ എന്താണ്? ഒരു വേരിയബിൾ ഏറ്റങ്ങളുള്ള ആശയം സാമ്യം. വേരിയബിൾ Y y = ₁ Y ഒരു ആദ്യ മൂല്യം _{സംഭവിക്കുന്നതെങ്കില്,} ക ക _{2 =,} വ്യത്യാസം Y ₂ ─ Y ₁ വർദ്ധനവ് മൂല്യം Y വിളിക്കുന്നു. ഇൻക്രിമെന്റ് നല്ല കഴിയും. നെഗറ്റീവും പൂജ്യം. വചനം "ഇൻക്രിമെന്റ്" Δ, Δഉ റിക്കോർഡ് നിയുക്ത ആണ് ( 'ഡെൽറ്റ Y' വായിക്കുക) ഇൻക്രിമെന്റ് Y മൂല്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ Δഉ = y ₂ ─ Y _1.

മൂല്യം Δഉ അനിയന്ത്രിതമായ ഫംഗ്ഷൻ Y = F (X) Δഹ് → 0 കുറവും ആയിത്തീരും ഒരു Δഹ്, ടി. ഇ എ = നൽകിയ എക്സ് വേണ്ടി കൺസ്ട്രക്റ്റർ, പദം α യാതൊരു ആശ്രിതത്വം എവിടെ Δഉ = ഒരു Δഹ് + α, പ്രാതിനിധ്യം ചെയ്യാം എങ്കിൽ അത് യഥാർത്ഥ Δഹ്, ആദ്യം ( "മാസ്റ്റർ") ഇതിലും വേഗത്തിൽ ഒരു പദം ആനുപാതിക Δഹ് ആണ്, ക = F (X) ഡിഫറൻഷ്യൽ വേണ്ടി ആണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എസ് അല്ലെങ്കിൽ df (X) ( "എക്സ് നിന്ന് ഡി ഡി" വായിച്ചു "Y ഡി",). അതുകൊണ്ടു വ്യത്യാസമാണ് - ഒരു "പ്രധാന" ഇന്ക്രിമെന്റ് Δഹ് നിര്വഹിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ ബന്ധപ്പെട്ട് രേഖീയ.

മെക്കാനിക്കൽ വിശദീകരണം

ചലിക്കുന്ന നേരായ വരിയിൽ ദൂരം - ന്റെ എഫ് (T) = ചെയ്യട്ടെ മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റ് പ്രാരംഭ സ്ഥാനം (- യാത്രാ സമയം ടി) നിന്ന്. ഇൻക്രിമെന്റ് Δസ് - ഒരു ഇടവേള Δത് സമയത്ത് വഴി പോയിന്റ് ആണ്, ഡിഫറൻഷ്യൽ DS = എഫ് '(T) Δത് - ഈ പോയിന്റ് ഒരേ സമയം Δത് വേണ്ടി നടക്കുന്ന ഏത് പാത, അത് സ്പീഡ് എഫ് നിലനിർത്തി എങ്കിൽ' (T), സമയം ടി എത്തിച്ചേരാൻ . എപ്പോഴാണ് ഒരു അതിസൂക്ഷ്മമായ Δത് DS സാങ്കൽപ്പിക പാത ഇന്ഫിനിതെസിമല്ല്യ് Δത് ബന്ധപ്പെട്ട ഉയർന്ന ഓർഡർ ഇല്ലാതെ യഥാർത്ഥ Δസ് നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. സമയം ടി വേഗത പൂജ്യമായി തുല്യമല്ല എങ്കിൽ, ഏകദേശ മൂല്യം DS ചെറിയ ബയസ് പോയിന്റ് നൽകുന്നു.

ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം

ലൈൻ എൽ ക = F (X) എന്ന ഗ്രാഫ് ആണ്. അപ്പോൾ Δ X = MQ, Δഉ = ക്മ് '(കാണുക. താഴെ ചിത്രം). Tangent എം.എൻ. Δഉ 'രണ്ടു ഭാഗങ്ങൾ, ക്ന് ആൻഡ് എൻഎം മുറിച്ച് തകർക്കുന്നു. ആദ്യത്തേതും Δഹ് ക്ന് = MQ ബിഇ ടി.ജി. (കോൺ ക്മ്ന്) = Δഹ് എഫ് '(X), ടി. ഇ ക്ന് ഡി.വൈ.എസ്.പി ഡിഫറൻഷ്യൽ ആണ് ആനുപാതികമാണ്.

വ്യത്യാസം Δഉ ന്മ്ദെത് രണ്ടാം ഭാഗം ─ ഡി.വൈ.എസ്.പി, Δഹ് → 0 എൻഎം ദൂരം 'വാദങ്ങൾ ഇന്ക്രിമെന്റ് അധികം വേഗത്തിൽ കുറയുന്നു, അത് Δഹ് അധികം കൂടുതൽ സ്മല്ല്നെഷ് ക്രമം ഉണ്ട് അതായത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എഫ് എങ്കിൽ '(X) ≠ 0 (നോൺ-സമാന്തര ടാഞ്ചെന്റ് കാള) സെഗ്മെന്റുകൾ ക്മഇ ക്ന് തുല്യമായ; മറ്റു വാക്കുകൾ എൻ.എം. 'കുറയുന്ന അതിവേഗം (അതിന്റെ ഉയർന്ന സ്മല്ല്നെഷ് ക്രമം) മൊത്തം ഇൻക്രിമെന്റ് Δഉ = ക്മ് അധികം' എന്ന. ഈ ചിത്രം (സെഗ്മെന്റ് മ്ക് എം ന്മ്സൊസ്തവ്ല്യെത് ആസന്നമായ എല്ലാ ചെറിയ ശതമാനം ക്മ് 'വിഭാഗത്തിൽ) പ്രകടമാണ്.

അതിനാൽ, ഗ്രാഫിക് ഏകപക്ഷീയമായ ഫംഗ്ഷൻ ഡിഫറൻഷ്യൽ ടാഞ്ചെന്റ് എന്ന ഒര്ദിനതെ എന്ന ഇൻക്രിമെന്റിലേയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവ് ആൻഡ് ഡിഫറൻഷ്യൽ

പദപ്രയോഗം ഇൻക്രിമെന്റ് ചടങ്ങിൽ ആദ്യ കാലാവധി ഒരു ഘടകം അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എഫ് '(X) മൂല്യം തുല്യമാണ്. അങ്ങനെ, താഴെ ബന്ധപ്പെട്ട് - ഡി.വൈ.എസ്.പി = എഫ് '(X) Δഹ് അല്ലെങ്കിൽ df (X) = എഫ്' (X) Δഹ്.

സ്വതന്ത്ര വാദം ഇൻക്രിമെന്റ് അതിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ Δഹ് = DX തുല്യമോ ആയ അറിയപ്പെടുന്നു. അതനുസരിച്ച്, എഴുതാം: എഫ് '(X) DX = എസ്.

കണ്ടെത്തൽ (ചിലപ്പോൾ "തീരുമാനം" എന്നു പറഞ്ഞു) ഡെറിവേറ്റീവ് വേണ്ടി അതേ നിയമങ്ങൾ നടത്തുന്ന ആണ് വ്യത്യാസമാണ്. അവരിൽ ഒരു പട്ടിക താഴെ കാണാം.

എന്താണ് കൂടുതൽ സാർവലൌകികവുമാണ്: വാദം ഇൻക്രിമെന്റ് അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ

ഇവിടെ ചില വ്യക്തത വരുത്താൻ അത്യാവശ്യമാണ്. പ്രാതിനിധ്യം മൂല്യം എഫ് '(X) സാധ്യത Δഹ് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഭാവിച്ചു X പരിഗണിക്കുമ്പോൾ. എന്നാൽ ഫങ്ഷൻ X വാദം ടി ഒരു പ്രവർത്തനം ആകാം ഒരു സമുച്ചയം, കഴിയും. അപ്പോൾ എഫ് വ്യത്യസ്ത പദപ്രയോഗം 'എന്ന പ്രാതിനിധ്യം (X) Δഹ്, ചട്ടം പോലെ, അത് അസാദ്ധ്യം; ലീനിയർ ആശ്രിതത്വം X = ചെയ്തത് + b കാര്യത്തിൽ ഒഴികെ.

ഫോർമുല എഫ് '(X) DX = ഡി.വൈ.എസ്.പി പോലെ, പിന്നെ X ടി എന്ന Parametric ആശ്രയത്വം സാഹചര്യത്തിൽ സ്വതന്ത്ര വാദം X (പിന്നീട് DX = Δഹ്) കാര്യത്തിൽ, വ്യത്യസ്ത ആണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, പദപ്രയോഗം 2 X Δഹ് X ഒരു വാദം വരുമ്പോൾ Y = X ² അതിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ വേണ്ടി ആണ്. ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ X = ടി ² ടി വാദം ഏറ്റെടുക്കാനും. അപ്പോൾ Y = X ² = ടി ^4.

ഈ (t + Δത്) ² = t ² + ൨ത്Δത് + Δത് ^{2 തൊട്ടുപിന്നിൽ.} അതുകൊണ്ട് Δഹ് = ൨ത്Δത് + Δത് ^2. അതുകൊണ്ട്: ൨ക്സΔഹ് = ൨ത് ² (൨ത്Δത് + Δത് ^2).

ഈ പദപ്രയോഗം Δത് അനുപാതത്തിലായിരിക്കും അല്ല, ആയതിനാൽ ൨ക്സΔഹ് ഡിഫറൻഷ്യൽ അല്ല ഇപ്പോൾ. ഇത് സമവാക്യത്തിനും y X ² = ടി ⁴ മുതൽ ^{കാണാവുന്നതാണ്.} ഇത് തുല്യ എസ് = 4T ³ Δത് ആണ്.

ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം ൨ക്സദ്ക്സ എടുത്തു എങ്കിൽ, വ്യത്യസ്ത Y = X ² യാതൊരു ന്യായവും ടി വേണ്ടി ആണ്. തീർച്ചയായും, X = ടി ² DX = ൨ത്Δത് ലഭിക്കും.

അങ്ങനെ ൨ക്സദ്ക്സ = ൨ത് ² ൨ത്Δത് = 4T ³ .ദെല്ത.ത്, ടി. ഇ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരിയബിളുകൾ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് പദപ്രയോഗം വ്യത്യാസമാണ് പദ്യം.

വർദ്ധനവിൽ വ്യത്യാസം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

എഫ് എങ്കിൽ '(X) ≠ 0, പിന്നീട് Δഉ ആൻഡ് ഡി.വൈ.എസ്.പി തുല്യമായി (സമയത്ത് Δഹ് → 0); എഫ് എങ്കിൽ '(x) = 0 (അർത്ഥവും ഡി.വൈ.എസ്.പി = 0), അവർ തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ക = X ^{2 ചെയ്താൽ} Δഉ = (എക്സ് Δഹ്) ² ─ X ² = ൨ക്സΔഹ് + Δഹ് ² ഡി.വൈ.എസ്.പി = ൨ക്സΔഹ്. X = 3 എങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ കാരണം Δഹ് ² → 0 തുല്യമാണ് എന്ന് Δഉ = ൬Δഹ് + Δഹ് ² ഡി.വൈ.എസ്.പി = ൬Δഹ് ഉണ്ട്, എപ്പോൾ X = 0 ഡി.വൈ.എസ്.പി = 0 മൂല്യം Δഉ = Δഹ് ² തുല്യമല്ലെങ്കിലും.

ഈ വസ്തുത, ഒരുമിച്ചു ഡിഫറൻഷ്യൽ (മീറ്റർ Δഹ് എന്നിവ. ഇ ലിനെഅരിത്യ്) എന്ന ലളിതമായ ഘടനയുള്ള, പലപ്പോഴും ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലിൽ, ചെറിയ Δഹ് വേണ്ടി Δഉ ≈ ഡി.വൈ.എസ്.പി ഈ വാദം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ സാധാരണയായി ഏറ്റങ്ങളുള്ള കൃത്യമായ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ എളുപ്പമാണ് കണ്ടെത്തുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, എഡ്ജ് X = 10.00 സെ.മീ മെറ്റാലിക് ക്യൂബ് ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്. Δഹ് = 0,001 സെ.മീ ന് ചാഞ്ഞുപോകുന്ന എഡ്ജ് ചൂടാക്കി ന്. എത്ര പെരുകിയിരിക്കുന്നു വോളിയം ക്യൂബ് വി? ^നാം, വി = X ² ഡി.വി. = 3 മടങ്ങ് ² = Δഹ് 3 ∙ ∙ ഫെബ്രുവരി ¹⁰ ൦/൦൧ = 3 (സെ.മീ ^{3) അങ്ങനെ.} വർദ്ധിച്ച Δവ് തത്തുല്യമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഡി.വി., Δവ് = 3 സെ.മീ ^{3 അങ്ങനെ.} പൂർണ്ണ കണക്കുകൂട്ടൽ ³ Δവ് തന്നാലും = ൧൦,൦൧ ─ മാർച്ച് ¹⁰ = ൩.൦൦൩൦൦൧. എന്നാൽ ആദ്യ വിശ്വസനീയമല്ലാതാകുന്ന ഒഴികെ എല്ലാ അക്കങ്ങളും ഫലം; അതിനാൽ, 3 സെ.മീ ³ റൗണ്ട് അത്യാവശ്യമാണ് ^{ഇപ്പോഴും.}

സ്പഷ്ടമായി, ഈ സമീപനം മൂല്യം പിശക് സ്വർഗീയമായ കണക്കാക്കാൻ സാധ്യമാണ് മാത്രം ഇത് ഉപകാരപ്രദമാണ്.

ഡിഫറൻഷ്യൽ പ്രവർത്തനം: ഉദാഹരണങ്ങൾ

ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ^{കണ്ടെത്തുന്നതിൽ,} ഫംഗ്ഷൻ Y = X ³ വ്യത്യസ്ത കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം. ഞങ്ങളെ വാദം ഇൻക്രിമെന്റ് Δഉ നൽകുകയും നിർവചനം നോക്കാം.

Δഉ = (Δഹ് + X) ³ ─ നീളവും ³ = 3x ² + Δഹ് (Δഹ് ൩ക്സΔഹ് ² + ^3).

ഇവിടെ, ഗുണനഘടകം എ = 3x ² അങ്ങനെ ആദ്യ പദം ആനുപാതിക Δഹ്, മറ്റ് അംഗം ൩ക്സΔഹ് Δഹ് ² + ³ ആണ്, Δഹ് ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എപ്പോൾ Δഹ് → 0 വാദം ഇന്ക്രിമെന്റ് വേഗത്തിൽ കുറയ്ക്കുന്നു. തത്ഫലമായി, എന്ന 3x ² Δഹ് ഒരു അംഗം Y = X ³ വ്യത്യസ്ത ^ആണ്:

എസ് = 3 മടങ്ങ് ² Δഹ് = 3 മടങ്ങ് ² DX അല്ലെങ്കിൽ ഡി (X ³⁾ = 3x ² DX.

ഏതിനാൽ ഡി (X ³⁾ / DX = 3 മടങ്ങാണ് ^2.

എസ് നാം ഇപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രവർത്തന Y = 1 / X കണ്ടെത്താൻ. അപ്പോൾ ഡി (1 / X) / DX = ─1 / X ^2. അതുകൊണ്ടു എസ് = ─ Δഹ് / X ^2.

അടിസ്ഥാന ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും പ്രവർത്തനങ്ങൾ താഴെ കൊടുക്കുന്നു വ്യത്യാസമാണ്.

ഡിഫറൻഷ്യൽ ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശ കണക്കുകൾ

ഫംഗ്ഷൻ എഫ് (X), അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എഫ് 'വിലയിരുത്താൻ (X) X ന് = ഒരു പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, എന്നാൽ X = ഒരു സമീപത്തായി അതേ ചെയ്യാൻ എളുപ്പമല്ല. അപ്പോൾ ഏകദേശ അഭിപ്രായ സഹായിക്കാൻ

എഫ് (ഒരു + Δഹ്) ≈ എഫ് '(എ) Δഹ് + F (എ).

ഈ അതിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ Δഹ് എഫ് '(എ) Δഹ് വഴി ചെറിയ വർദ്ധനവിൽ ഫങ്ഷൻ ഒരു ഏകദേശ മൂല്യം നൽകുന്നു.

അതുകൊണ്ട് ഈ ഫോർമുല ഭാഗം (X = എ) തുടക്കം അതിന്റെ മൂല്യം ഒരു തുക ഒരേ ആരംഭ പോയിന്റും ഡിഫറൻഷ്യൽ ഒരു നീളം Δഹ് ഒരു ഭാഗം അവസാനം ഘട്ടത്തിൽ ചടങ്ങിൽ ഒരു ഏകദേശ പദപ്രയോഗം നൽകുന്നു. താഴെ ചടങ്ങിൽ മൂല്യങ്ങൾ തീരുമാനിക്കേണ്ട രീതി കൃത്യത ഡ്രോയിംഗ് വ്യക്തമാക്കുന്നത്.

എന്നാൽ അറിയപ്പെടുന്ന ഫങ്ഷൻ X = ഒരു + Δഹ് മൂല്യം ഫോർമുല പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ ഇന്ക്രിമെന്റ് (മറ്റൊരു തരത്തിൽ, ലഗ്രാഞ്ച് ഫോർമുല) നൽകിയ കൃത്യമായ പദപ്രയോഗം

എഫ് (ഒരു + Δഹ്) ≈ എഫ് '(ξ) Δഹ് + F (എ),

എവിടെ പോയിന്റ് X = എ + ξ ഇടവേള ൽ X നിന്ന് = ഒരു X = ഒരു + Δഹ് വരെ, അതിന്റെ കൃത്യമായ സ്ഥാനം അജ്ഞാതമാണ് എങ്കിലും ആണ്. കൃത്യമായ ഫോർമുല ഏകദേശ ഫോർമുലയുടെ പിശക് വിലയിരുത്താൻ അനുവദിക്കുന്നു. അത് കൃത്യമായും എന്നു ഗ്രഹ, എന്നാൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ കണക്കിലെടുത്ത് യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം വളരെ മെച്ചപ്പെട്ട സമീപനം, ചട്ടം പോലെ, നൽകുന്നു എങ്കിലും ഞങ്ങൾ ലേഗ്രാഞ്ച് ഫോർമുല ξ = Δഹ് / 2 ഇട്ടു എങ്കിൽ.

ഡിഫറൻഷ്യൽ കരു ഉപയോഗിച്ച് വിലയിരുത്തൽ സമവാക്യങ്ങൾ പിശക്

അളക്കൽ ഉപകരണങ്ങൾ , തത്വത്തിൽ, കൃത്യമല്ലാത്ത, ഒപ്പം പിശക് പൊരുത്തപ്പെടുന്ന അളക്കുന്നത് ഡാറ്റ കൊണ്ടുവരാൻ. അവർ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിലൂടെ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ കേവല പിശക്, വ്യക്തമായി കേവല മൂല്യം (അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും ഇതിന് തുല്യമോ) ൽ പിശക് കവിഞ്ഞുകൊണ്ട് നല്ല - ചുരുക്കത്തിൽ, പരിധി പിശക് അല്ലെങ്കിൽ,. നിയന്ത്രിക്കുന്നു ആപേക്ഷിക പിശക് വില സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യം വഴി അത് ഹരിച്ചാണ് ലഭിച്ച ഘടകഗ്രൂപ്പുകൾ വിളിക്കുന്നു.

കൃത്യമായ സൂത്രവാക്യം Y = F (X) Y വ്യ്ഛിസ്ല്യെനിയ ഉപയോഗിച്ച് ചടങ്ങിൽ വരട്ടെ; X മൂല്യം അളക്കുന്നത് ഫലമാണ്, അതിനാൽ Y പിശക് നൽകുന്നു. പിന്നെ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, പരിമിതപ്പെടുത്തൽ കേവല പിശക് │Δഉ│ഫുന്ക്ത്സീ Y കണ്ടെത്താൻ

│Δഉ│≈│ദ്യ്│ = │ എഫ് '(X) ││Δഹ്│,

അവിടെ │Δഹ്│യവ്ല്യെത്സ്യ നാമമാത്ര പിശക് വാദം. │Δഉ│ അളവ് പോലെ, മേലോട്ടു റൗണ്ട് വേണം കൃത്യമല്ലാത്ത കണക്കുകൂട്ടൽ തന്നെ ഡിഫറൻഷ്യൽ കണക്കുകൂട്ടൽ ന് ഏറ്റങ്ങളുള്ള പകരം ആണ്.