ലീനിയർ ആദ്യ ഉത്തരവിന്റെ മാറിയെന്നതാണ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. പരിഹാരങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഞങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ മഹത്തായ ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ചരിത്രം ഉപയോഗിച്ച് ആരംഭിക്കേണ്ടതാണ് കരുതുന്നു. എല്ലാ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമഗ്രവുമായ കാൽക്കുലസ് പോലെ ഈ സമവാക്യങ്ങൾ വൈകി 17 നൂറ്റാണ്ട് ന്യൂട്ടൺ കണ്ടുപിടിച്ച ചെയ്തു. അവൻ അതിനെ തുടർന്ന് ഇന്ന് വിവർത്തനം കാണാം പോലും എൻക്രിപ്റ്റ് സന്ദേശം, തന്റെ കണ്ടെത്തൽ അങ്ങനെ പ്രധാനപ്പെട്ട ആയിരുന്നു വിശ്വസിച്ചു: ". ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ വിശേഷിപ്പിച്ചത് പ്രകൃതിയുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളും" അത് ഒരു അതിശയോക്തി തോന്നാം, എന്നാൽ ഇത് സത്യമാണ്. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും നിയമം, കെമിസ്ട്രി, ബയോളജി, ഈ സമവാക്യങ്ങൾ വിശേഷിപ്പിച്ചത് കഴിയും.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം വികസനത്തിന് സൃഷ്ടി ഒരു വലിയ സംഭാവന ഓയ്ലർ ആൻഡ് ലഗ്രാഞ്ജ് മാത്തമാറ്റിക്സ് ഉണ്ട്. ഇതിനകം 18-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ അവർ കണ്ടെത്തിയ വികസ്വര ഇപ്പോൾ മുതിർന്ന യൂണിവേഴ്സിറ്റി കോഴ്സുകൾ ചെയ്തത് പഠിക്കുന്നത് എന്താണ്.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെ പഠനത്തിൽ ഒരു പുതിയ നാഴികക്കല്ലാണ് Anri ആകര്ഷകമായ പുഅന്കരെ നന്ദി തുടങ്ങി. സ്ഥലം ശാസ്ത്ര അതിന്റെ - അവൻ, ഗണ അടിസ്ഥാനം ഗണ്യമായ സംഭാവനകൾ സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് പ്രവർത്തനങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം കൂടിച്ചേർന്ന്, ഒരു "ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെ ഗുണപരമായ സിദ്ധാന്തം" സൃഷ്ടിച്ചു.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എന്താണ്?

നിരവധി ആളുകൾ വാചകം ഭയപ്പെടുന്നു "ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം". എന്നാൽ, ഈ ലേഖനത്തിൽ നാം പുറത്തു വിശദമായി ഏത് യഥാർത്ഥത്തിൽ തലക്കെട്ട് നിന്ന് തോന്നിയ പോലെ സങ്കീർണ്ണമായ അല്ല ഇത് വളരെ ഉപകാരപ്രദമായ ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം സത്ത സ്ഥാപിക്കും. ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സംസാരിക്കാവുന്ന തുടങ്ങും വേണ്ടി, നിങ്ങൾ ആദ്യം അന്തർലീനമായിട്ടുള്ള ഈ നിർവചനം ബന്ധപ്പെട്ട അടിസ്ഥാന സങ്കല്പങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ വേണം. ഞങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ കൂടെ ആരംഭിക്കും.

ഡിഫറൻഷ്യൽ

നിരവധി ആളുകൾ ഹൈസ്കൂൾ മുതൽ ഈ പദം അറിയുന്നു. എന്നാൽ, ഇപ്പോഴും വിശദമായി അതിൽ പാർക്കും. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് സങ്കൽപ്പിക്കുക. നാം ഈ വിഭാഗത്തിൽപ്പെടുന്ന ഏതെങ്കിലും ഒരു വര മാറുന്നു അത്തരം ഒരു പരിധി വരെ അത് വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് പരസ്പരം അന്തമില്ലാത്ത അടുത്ത് രണ്ട് പോയിന്റ് എടുക്കും. അവരുടെ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ (X അല്ലെങ്കിൽ Y) തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം അതിസൂക്ഷ്മമായ ആണ്. എന്നാൽ വ്യത്യസ്ത വിളിക്കുകയും അക്ഷരങ്ങൾ ഡി.വൈ.എസ്.പി (Y വ്യത്യസ്ത) ഉം DX (X വ്യത്യസ്ത) നിയോഗിക്കുക. അത് ആത്യന്തിക മൂല്യം, ഡിഫറൻഷ്യൽ അല്ല ഈ അർത്ഥവും പ്രധാന പ്രവർത്തനം എന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രധാനമാണ്.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ആശയം വിശദീകരിക്കാൻ ആവശ്യമാണ് ഇനിപ്പറയുന്ന ഘടകങ്ങൾ, കരുതണം. ഇത് - ഡെറിവേറ്റീവ്.

ഡെറിവേറ്റീവ്

ഞങ്ങൾ എല്ലാവരും സ്കൂൾ ഈ ചിന്തയാണ് കേട്ടത് ആയിരിക്കണം. വളർച്ച അല്ലെങ്കിൽ ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്നതും നിരക്ക് - അവർ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നു പറയുന്നു. എന്നാൽ, ഈ നിർവചനം കൂടുതൽ ആശയക്കുഴപ്പങ്ങൾക്ക് മാറുന്നു. ഞങ്ങളെ വ്യത്യാസം ഡെറിവേറ്റീവായ നിബന്ധനകൾ വിശദീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. പരസ്പരം ഒരു മിനിമം അകലെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന രണ്ടു പോയിന്റ്, തിരികെ അനന്തവും ഇടവേള ചടങ്ങിൽ പോകാം. എന്നാൽ ഈ ദൂരം ഫംഗ്ഷൻ അപ്പുറം ചില മൂല്യം മാറ്റാൻ സമയം. ആ മാറ്റം വിവരിക്കാനും അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം അനുപാതം എഴുതിയ എന്നുള്ള ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് കയറി വന്നു: F (X) '= df / DX.

ഇപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് അടിസ്ഥാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ പരിഗണിക്കുക അത്യാവശ്യമാണ്. മാത്രം മൂന്ന് ഉണ്ട്:

1. പകർത്തിയ സം വ്യത്യാസം ഡെറിവേറ്റീവ്സ് തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം പ്രതിനിധീകരിച്ച കഴിയും: (എ + ബി) '= a' + b ', ഒപ്പം (AB)' = അ-ബി '.
2. രണ്ടാം പ്രോപ്പർട്ടി ഗുണനം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. സൃഷ്ടിച്ചവ - ഒരു ചടങ്ങിൽ പ്രവൃത്തിയിൽ തുക മറ്റൊരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്: (ഒരു * ബി) '= a' * ബി ഒരു * ബി '.
3. (ഒരു / ബി) '=: വ്യത്യാസം ഡെറിവേറ്റീവ് താഴെ സമവാക്യം എഴുതിയ കഴിയും (ഒരു' * ബി.എ * ബി ') / ബി ^2.

എല്ലാ ഈ സവിശേഷതകൾ ആദ്യം ഉത്തരവ് സമവാക്യങ്ങളുപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള കാര്യമാണ്.

കൂടാതെ, ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ്സ് ഉണ്ട്. ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ x, y ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു Z, ഒരു ചടങ്ങിൽ, ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഈ ഫംഗ്ഷൻ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാൻ, ഉദാഹരണത്തിന്, X ഞങ്ങൾ വേദനകള് വിവിധ എളുപ്പമുള്ളതാക്കിയിരിക്കുന്നു വേരിയബിൾ Y എടുക്കുമ്പോൾ.

അവിഭാജ്യ

മറ്റൊരു പ്രധാന ആശയം - അവിഭാജ്യ. വാസ്തവത്തിൽ ഇത് ഡെറിവേറ്റീവ് വിപരീതമാണ് അത്. ഇന്റഗ്രലുകള് പല തരം, എന്നാൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെ ലളിതമായ പരിഹാരങ്ങളും, ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ബാലിശമായ ആവശ്യം അനിശ്ചിതകാല ഇന്റഗ്രലുകള്.

അതുകൊണ്ട്, അവിഭാജ്യ എന്താണ്? നമുക്ക് എക്സ് എഫ് ചില ബന്ധം പറയട്ടെ. നാം അതിൽ നിന്ന് അവിഭാജ്യ എടുത്തു ഒരു ചടങ്ങിൽ ഏത് യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷൻ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയ എഫ് (X) (അത് പലപ്പോഴും ഒരു പ്രിമിറ്റീവ് എന്നാണ് വിളിക്കുക) നേടുന്നതിനും. അതിനാൽ എഫ് (X) '= F (X). ഇത് ഡെറിവേറ്റീവ് അവിഭാജ്യ യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനം തുല്യമോ ആയ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം അതു വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട വളരെ പലപ്പോഴും പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനും പോകുന്നതിനും കാരണം, അവിഭാജ്യ അർത്ഥവും ഫങ്ഷൻ മനസ്സിലാക്കുക എന്നതാണ്.

സമവാക്യങ്ങൾ അവരുടെ സ്വഭാവം അനുസരിച്ച് വ്യത്യസ്തമാണ്. അടുത്ത വിഭാഗത്തിൽ ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെ തരം നോക്കൂ, എന്നിട്ട് അവരെ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കും.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെ ക്ലാസുകൾ

"ദിഫ്ഫുര്യ്" അവരെ ഉൾപ്പെട്ട ഡെറിവേറ്റീവ് ക്രമം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ. അങ്ങനെ ആദ്യ രണ്ടാം, മൂന്നാം അതിലധികമോ ഉത്തരവുമുണ്ട്. സാധാരണ, ഭാഗികമായി: അവർ പല ക്ലാസുകൾ വിഭജിക്കാം.

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഉത്തരവിന്റെ സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ തുടർന്നുവരുന്ന ഭാഗങ്ങളിൽ ചർച്ച. കാരണം അത് സമവാക്യങ്ങളെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ തരം ആണ് നാം മാത്രമേ TAC ലേക്ക് പരിഗണിക്കുക. ഓർഡിനറി സമർത്ഥിക്കുന്നുണ്ട് തിരിച്ചിരിക്കുന്നു: വേർപെട്ടുനിൽക്കുന്നതോ വേരിയബിളുകൾ, സമീകൃത ആൻഡ് േമാഖലകളാക്കി കൂടെ. അടുത്തത് അവർ പരസ്പരം നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും എങ്ങനെ പഠിക്കാൻ അവരെ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കും.

പുറമേ, ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഓർഡർ വ്യത്യസ്ത സമവാക്യങ്ങളെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും ശേഷം അങ്ങനെ, സംയുക്ത കഴിയും. ഇത്തരം സംവിധാനങ്ങൾ, പുറമേ നോക്കി പരിഹരിക്കാൻ എങ്ങനെയെന്ന് അറിയുക.

എന്തുകൊണ്ട് ആദ്യ ഓർഡർ പരിഗണിക്കുന്നു? അത് ഒരു ലേഖനം അത് അസാധ്യമാണ് ഒരു ലളിതമായ കൂടെ ആരംഭിക്കാൻ എല്ലാ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻസ് ബന്ധപ്പെട്ട വിവരിക്കാൻ, അത്യാവശ്യമാണ് കാരണം.

വേർപെട്ടുനിൽക്കുന്നതോ വേരിയബിളുകൾ കൂടെ സമവാക്യങ്ങൾ

ഇത് ഒരുപക്ഷേ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ ആദ്യ ഓർഡർ ആണ്. ക '= F (X) * F (Y): ഈ എഴുതിയ കഴിയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. ക '= ഡി.വൈ.എസ്.പി / DX: ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസം എന്ന അനുപാതം ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രാതിനിധ്യം ഫോർമുല വേണം. എസ് / DX = F (X) * F (Y): അതിനാൽ നാം സമവാക്യം ലഭിക്കും. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹാരം രീതിയാണ് ഓണാക്കാനാകും: എവിടെ ഡി.വൈ.എസ്.പി അവിടെ ഭാഗത്ത്, ഭാഗങ്ങളിൽ ചരങ്ങൾ വേർതിരിച്ചു അതായത് ഫാസ്റ്റ് എല്ലാ വേരിയബിൾ Y, കൂടാതെ വേരിയബിൾ X ഉണ്ടാക്കുക ... ഫോം ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും: ഡി.വൈ.എസ്.പി / എഫ് (Y) = രണ്ടു ഭാഗങ്ങൾ ഇന്റഗ്രലുകള് പാലിച്ച് നേടാവുന്നതാണ് ഏത് എഫ് (X) DX. ഏകീകരണ ശേഷം ആഗ്രഹിക്കുന്ന സ്ഥിരമായ കുറിച്ച് മറക്കരുത്.

ഏതെങ്കിലും "ദിഫ്ഫുര" പരിഹാരം - ക (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ) പ്രകാരം X ഒരു പ്രവർത്തനമല്ല, അല്ലെങ്കിൽ സാംവ്യയിക അവസ്ഥ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഉത്തരം ഒരു നമ്പർ ആണ്. നമുക്ക് ഒരു കോൺക്രീറ്റ് ഉദാഹരണം തീരുമാനം മുഴുവന് പരിശോധിക്കാം:

ക '= ൨യ് * പാപം (X)

വ്യത്യസ്ത ചരങ്ങൾ കൈമാറുക:

എസ് / y = 2 * പാപം (X) DX

ഇപ്പോൾ ഇന്റഗ്രലുകള് എടുത്തു. അവരിൽ എല്ലാ ഇന്റഗ്രലുകള് ഒരു പ്രത്യേക പട്ടികയിൽ കാണാവുന്നതാണ്. ഞങ്ങൾ ലഭിക്കും:

ഇൻ (Y) = -2 * കോസ് (എക്സ്), സി

ആവശ്യമെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ "Y" പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള "എക്സ്" ഒരു പ്രവർത്തനവും. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അവസ്ഥ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ല ഞങ്ങളുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം, തീർന്നു എന്നു പറയാം. അവസ്ഥ, ഉദാഹരണത്തിന്, ക (എൻ / 2) = ഇ കഴിയും. അപ്പോൾ നാം കേവലം തീരുമാനം ഈ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യം വേദവാക്യം സ്ഥിരവുമായ മൂല്യം കണ്ടെത്തും. നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, 1 ആണ്.

സമീകൃത ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ഇപ്പോൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഭാഗങ്ങളിൽ ന്. ക '= Z (X, Y): സമീകൃത ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ജനറൽ ഫോം എഴുതാം. Y ആദ്യപടിയാണ് X, z: ഇത് രണ്ടു ചരങ്ങളുടെ ശരിയായ പ്രവർത്തനം യൂണിഫോം എന്നു, അത് അനുസരിച്ച് രണ്ടായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു കഴിയില്ല കുറിക്കുകയും ചെയ്യണം. സമവാക്യം സമീകൃത അല്ലയോ പരിശോധിക്കുക, വളരെ ലളിതമാണ്: ഞങ്ങൾ പകരക്കാരനെ X = k * x, y = k * Y ഉണ്ടാക്കേണം. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ എല്ലാവരും k മുറിച്ചു. ഈ അക്ഷരങ്ങൾ ഒഴിവാക്കി എങ്കിൽ, പിന്നെ സമവാക്യം സമീകൃത സുരക്ഷിതമായി അതിന്റെ പരിഹാരം മുന്നോട്ട്. വീണ്ടും മുന്നോട്ട്, ഞങ്ങൾ പറയും: ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹാരം തത്വം വളരെ ലളിതമാണ്.

- പുറമേ X ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു ഫംഗ്ഷൻ ക = ടി (X) * നീളവും, എവിടെ ടി: നാം പകരക്കാരനെ വേണം. അപ്പോൾ നാം ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രകടിപ്പിക്കാം: ക '= ടി' (X) * X + T. നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം എല്ലാ ഈ പകരം അതു ലളിതമാക്കുക, ഞങ്ങൾ X ആയി ചരങ്ങളുടെ ടി ഋതു എന്ന മാതൃകയുണ്ട്. വ ടി (X) സമാജവാദികളും ലഭിക്കും. ഞങ്ങൾ അത് എത്തിയപ്പോൾ നമ്മുടെ മുൻ പകരം Y = ടി (X) * X പകരം. അപ്പോൾ നാം X ന് Y സമാജവാദികളും ലഭിക്കും.

X * Y '= ഭവനഭേദനമല്ല *: അത് വ്യക്തമാകും, ഞങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണം ചിന്തിക്കും ഇ Y / X.

എല്ലാ കുറവാണു പകരം പരിശോധിക്കുമ്പോൾ. അതുകൊണ്ട്, സമവാക്യം ശരിക്കും സമീകൃത ആണ്. ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു പകരക്കാരനെ, ഞങ്ങൾ സംസാരിച്ചു: ക = T (X) * x, y '= ടി' (X) * X + T (X). ടി (X) '* എക്സ്: താഴെ സമവാക്യം എളുപ്പമാക്കാൻ ശേഷം = -e ടി. ഞങ്ങൾ വേർപിരിഞ്ഞു വേരിയബിളുകൾ ഒരു സാമ്പിൾ നേടുകയും തീരുമാനിക്കുകയും ഞങ്ങൾ ^{ലഭിക്കും: ഇ -t = ഇൻ (സി *} X). ^{ഇ -y / X = ഇൻ (:} നാം വെറും (Y = ടി * X ചെയ്താൽ ടി Y / x = കാരണം), ഞങ്ങൾ ^{ഉത്തരം} ലഭിക്കും ക / നീളവും പ്രകാരം ടി പകരം വേണമെങ്കിൽ X * സി).

ആദ്യ ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം

മറ്റൊരു വിശാലമായ വിഷയം പരിഗണിക്കാൻ സമയം. നാം േമാഖലകളാക്കി ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കും. എങ്ങനെ അവർ കഴിഞ്ഞ രണ്ടു മുതൽ വ്യത്യാസം? ന്റെ അതു രണ്ടും. ലീനിയർ ആദ്യ ഓർഡർ സമവാക്യം ജനറൽ രൂപത്തിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഇങ്ങനെ എഴുതാം: ക '+ g (X) * ക = Z (X). ഇത് Z (X) ജി (X) നിരന്തരമായ മൂല്യങ്ങൾ ആയിരിക്കാം എന്ന് വ്യക്തമാക്കാൻ വേണം.

Y * X = - ക ': ഇതാ ഒരു ഉദാഹരണം X ^2.

പരിഹരിക്കാൻ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്, ഞങ്ങള് ഇരുവരും പരിശോധിക്കാം ഓർഡർ. ആദ്യ - ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും അവസ്ഥാന്തരങ്ങളെയും രീതി.

ഈ വിധത്തിൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനായി, അത് പൂജ്യം ആദ്യ വലതുഭാഗത്തുള്ള താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതിലല്ല, അതിന്നു അവയവം കൈമാറ്റം ശേഷം ഏത് ഫലമായി സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമാണ്:

ക '= ക * X;

എസ് / DX = ക * X;

എസ് / ക ക്സദ്ക്സ =;

ഇൻ | ക | = X ^2/2 + C;

ക = ഇ ^{X2 / 2} * ^സി Y = സി ₁ * ഇ ^{X2 / 2.}

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും ഏത് നിരന്തരമായ സി ₁ ഫംഗ്ഷൻ വി ന് (X), പകരം അത്യാവശ്യമാണ്.

y = വി * ഇ ^{X2 / 2.}

ഒരു പകരം വ്യുൽപ്പന്നം വരയ്ക്കുക:

^{ക '= വി' * ഇ X2} / ² -x * വി * ഇ ^{X2 / 2.}

എന്നാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ പകരം:

വി '* ഇ ^{X2 / 2} - X * വി * ഇ ^{X2 / 2} + X * V * ഇ ^{X2 / 2} = X ^2.

നിങ്ങൾ രണ്ടു നിബന്ധനകൾ ഇടത് വശത്ത് കുറഞ്ഞു കാണാം. സംഭവിച്ചില്ലെങ്കിൽ ചില ഉദാഹരണ എങ്കിൽ, പിന്നെ നിങ്ങൾ എന്തെങ്കിലും തെറ്റ് ചെയ്തു. നാം തുടർന്നും:

വി '* ഇ ^{X2 / 2} = X ^2.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ചരങ്ങൾ വേർതിരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന സാധാരണ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ:

ഡി.വി. / DX = X ^{2 /} ഇ ^X2 / ^2;

ഡി.വി. = X ² * ഇ ^{- X2 / 2} DX.

അവിഭാജ്യ നീക്കം, ഇവിടെ ഭാഗങ്ങൾ പ്രകാരം സംയോജനം അപേക്ഷിക്കണം. എന്നാൽ, ഈ ലേഖനത്തിന്റെ വിഷയം അല്ല. താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു പ്രവർത്തി നടപ്പിലാക്കുന്നതിനായി സ്വന്തം പഠിക്കാം. അതു, പ്രയാസമില്ല മതി വൈദഗ്ദ്ധ്യവും ഉപയോഗിച്ച് ദഹിപ്പിക്കുന്ന സമയം അല്ല.

ബെര്നൊഉല്ലി രീതി: രണ്ടാം രീതി വരെ ഫർണസിൽ സമവാക്യങ്ങളെ പരിഹാരം നയിക്കും. എന്തു സമീപനം വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും - അത് നിങ്ങളാണ് തീരുമാനിക്കേണ്ടത്.

ക = k *; അത്, ഈ രീതി പരിഹരിക്കാനുളള സമയത്ത്, ഞങ്ങൾ പകരക്കാരനെ വേണം. ഇവിടെ, കെ എൻ - X അനുസരിച്ച് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ. അപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കാണപ്പെടും: ക '= k' * n + K * എൻ '. സമവാക്യം രണ്ട് പകരം പകരമാവില്ല:

k '* n + K * n ' + X * k * n = X ^2.

ഗ്രൂപ്പ് അപ്പ്:

k '* n + K * ( എൻ' + X * വ) = X ^2.

ഇപ്പോൾ അത്യാവശ്യമാണ് ബ്രാക്കറ്റിൽ എന്നു, പൂജ്യമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതിലല്ല എന്നതാണ്. ഇപ്പോൾ, നിങ്ങൾ രണ്ട് കാരണമാകുന്നു സമവാക്യങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച് എങ്കിൽ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ആദ്യമായി ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻസ് ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും:

എൻ '+ X * n = 0;

k '* n = X ^2.

ആദ്യ സമത്വം എങ്ങനെ സാധാരണ സമവാക്യം തീരുമാനിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ചരങ്ങൾ വേർതിരിച്ചു ആവശ്യമാണ്:

ഡിഎൻ / DX = X * V;

ഡിഎൻ / n = ക്സദ്ക്സ.

നാം അവിഭാജ്യ ഒപ്പം ലഭിക്കും: ഇൻ (എൻ) = X ^2/2. അപ്പോൾ നാം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന N =:

n = e എന്ന ^{X2 / 2.}

ഇപ്പോൾ രണ്ടാം സമവാക്യം ജീവിതത്തിലേക്കുള്ള സമവാക്യം വേദവാക്യം:

k '* ഇ ^{X2 / 2} = X ^2.

പരിവർത്തനവും, ഞങ്ങൾ ആദ്യം രീതി അതേ സമവാക്യം ലഭിക്കും:

ഡെൻമാർക്ക് = X ^{2 /} ഇ ^X2 / ^2.

ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ നടപടി ചർച്ച ചെയ്യും. ഇത് ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ചെയ്തത് പരിഹാരം ഗണ്യമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ കാരണമാകുന്നു എന്ന് പറഞ്ഞു. എന്നാൽ, വിഷയത്തിൽ ഒരു ആഴമേറിയ മുങ്ങി മെച്ചപ്പെട്ടു നേടുകയും ആരംഭിക്കുന്നു.

എവിടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ട്?

ഫിസിക്സ് ഉപയോഗിക്കുന്ന വളരെ സജീവമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, പോലെ മിക്കവാറും എല്ലാ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫോം എഴുതിയതായി ആ സമവാക്യങ്ങളെ ഞങ്ങൾ കാണുന്ന - ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം. രസതന്ത്രത്തിൽ അവർ ഇതേ കാരണത്താൽ ഉപയോഗിക്കുന്നത്: അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ അവരെ വഴി അനുമാനിക്കുന്നത്. ഇര - ബയോളജി, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള മെയ്വഴക്കത്തോടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പ്രവർത്തനരീതി മാതൃകയാക്കി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അവർ പുനഃസൃഷ്ടി മാതൃകകൾ സൂക്ഷ്മാണുക്കൾ കോളനികളായിരുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, സൃഷ്ടിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ജീവിതത്തിൽ സഹായിക്കും പോലെ?

ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം ലളിതമാണ്: ഒന്നും. നിങ്ങൾ ഒരു ശാസ്ത്രജ്ഞൻ അല്ലെങ്കിൽ എഞ്ചിനീയർ അല്ല, അത് അവർ ഉപയോഗപ്രദമാകും എന്ന സാധ്യതയില്ല. എന്നാൽ, അത് മൊത്തം വികസനത്തിന് തീർന്നു എന്തു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം അറിയാൻ ഉപദ്രവിക്കില്ല. തുടർന്ന് ഒരു മകനോ മകളോ എന്ന ചോദ്യത്തിന്, 'എന്താണ് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം? " ചത്ത അവസാനം നിങ്ങളെ ഇടരുത്. നന്നായി, നിങ്ങൾ ഒരു ശാസ്ത്രജ്ഞൻ അല്ലെങ്കിൽ എഞ്ചിനീയർ എങ്കിൽ, പിന്നെ എന്തെങ്കിലും ശാസ്ത്രം ഈ വിഷയത്തിന്റെ പ്രാധാന്യം അറിയാം. എന്നാൽ ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ആ "ആദ്യ ഉത്തരവിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാൻ?" നിങ്ങൾ എപ്പോഴും ഒരു ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയും. , നിങ്ങൾ അംഗീകരിക്കുന്നു ആളുകൾ പോലും കണ്ടെത്താൻ ഭയപ്പെടുന്നു തിരിച്ചറിയുമ്പോൾ അത് എപ്പോഴും നല്ല ആണ്.

പഠനത്തിൽ പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങൾ

ഈ വിഷയം ബുദ്ധി പ്രധാന പ്രശ്നം ഇന്റഗ്രേഷൻ, വ്യത്യസ്തത ഫംഗ്ഷൻ മോശം ശീലമാണ്. നിങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ്സ് ആൻഡ് ഇന്റഗ്രലുകള് അസുഖകരമായ ഏറ്റെടുക്കാനും എങ്കിൽ, അത്, പഠിക്കാൻ ഇന്റഗ്രേഷൻ, വ്യത്യസ്തത വിവിധ രീതികൾ പഠിക്കാൻ, മാത്രമേ ലേഖനം വിവരിക്കുന്നുണ്ട് കാര്യങ്ങൾ പഠനത്തിൽ മുന്നോട്ട് ഒരുപക്ഷേ കൂടുതൽ രൂപയുടെ.

ചില ആളുകൾ മുമ്പ് (സ്കൂളിൽ) അംശം ഡി.വൈ.എസ്.പി / DX വിഭജിക്കാനും വാദിച്ചു ആ DX, കൈമാറ്റം ചെയ്യാനോ പഠിക്കാൻ അത്ഭുതപ്പെടുന്നു. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ വ്യുൽപ്പന്നം സാഹിത്യം വായിക്കുകയും അത് സമവാക്യം കൈകാര്യം കഴിയുന്ന അന്തമില്ലാത്ത ചെറിയ അളവിൽ മനോഭാവം, എന്നു മനസിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ പലപ്പോഴും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നെബെരുസ്ഛിയ്സ്യ അവിഭാജ്യ, ഈ കബളിപ്പിക്കുന്ന അവരെ ഒരുപാട് പ്രശ്നങ്ങൾ നൽകുന്നു - നിരവധി ആളുകൾ ഉടനെ ആദ്യ ഓർഡർ വ്യത്യസ്ത സമവാക്യങ്ങളെ പരിഹാരം മനസ്സിലാക്കുന്നില്ല.

മറ്റാരെങ്കിലും നന്നായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിന് പഠിക്കാനാകും?

ഇത് കൂടുതൽ മുങ്ങി പ്രത്യേക പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത കാൽക്കുലസ് ലോകത്തിലേക്കു, നോൺ-ഗണിതശാസ്ത്ര സവിശേഷതകൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അനാലിസിസ് ൽ, ഉദാഹരണത്തിന് ആരംഭിക്കാൻ നല്ലത്. നിങ്ങൾ കൂടുതൽ പ്രത്യേക സാഹിത്യം പോകാം.

വ്യത്യസ്ത പുറമേ, അവിടെ ഇപ്പോഴും അവിഭാജ്യ സമവാക്യങ്ങൾ ആകുന്നു, എന്ന് പറഞ്ഞു, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും വേണ്ടി സമരം എന്തോ ഉണ്ട് എന്തു പഠിക്കാൻ ചെയ്യും.

തീരുമാനം

ഈ ലേഖനം വായിച്ചതിനുശേഷം നിങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കാൻ എന്തു ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻസ് എങ്ങനെ ഒരു ധാരണ ലഭിക്കും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

ഏതായാലും, ജീവിതത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായ ഏതെങ്കിലും വിധത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം. അതു കൈ ഇല്ലാതെ പോലെ, യുക്തിയുടെ ശ്രദ്ധയും, കൂടാതെ ഓരോ മനുഷ്യനും വികസിക്കുന്നു.