ലീനിയർ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു സിസ്റ്റം. ലീനിയർ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും സമവാക്യങ്ങളെ മാറിയെന്നതാണ് സിസ്റ്റം

സ്കൂളിൽ, നാം ഓരോരുത്തരും സമവാക്യം തീർച്ചയായും സമവാക്യങ്ങളെ സിസ്റ്റം പഠിച്ചു,,. എന്നാൽ പല ആളുകൾ പരിഹരിക്കാൻ നിരവധി വഴികളുണ്ട് അറിയും. ഇന്ന് നാം രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളെ രചിച്ചു ഏത് ലീനിയർ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും സമവാക്യങ്ങൾ, ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ കൃത്യമായി എല്ലാ രീതികൾ കാണും.

കഥ

ഇന്ന് നാം സമവാക്യങ്ങൾ അവരുടെ സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹാരം എന്ന ആർട്ട് പുരാതന ബാബിലോണിലെ ഈജിപ്ത് ഉദ്ഭവിച്ച അറിയുന്നു. എന്നാൽ, അവരുടെ പരിചിതമായ രൂപത്തിൽ സമത്വം ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ റെക്കോർഡ് പ്രകാരം 1556 ൽ പരിചയപ്പെടുത്തി സമ ചിഹ്നത്തിനു "=", ഉണ്ടാകുന്നതിനെ ശേഷം പ്രത്യക്ഷനായി. വഴിയിൽ, ഈ ചിഹ്നം ഒരു കാരണം തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടു അതിൽ സമാന്തര തുല്യ സെഗ്മെന്റുകൾ എന്നാണ്. തീർച്ചയായും, സമത്വം ഏറ്റവും മികച്ച ഉദാഹരണം വരുന്നത്.

ആധുനിക ലെറ്ററിംഗ് അറിയാത്തത് വ്യാപ്തി പ്രതീകങ്ങളായ സ്ഥാപകനായ ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫ്രംസുഅ വിയറ്റ്. എന്നാൽ, അതിന്റെ പദവിയും ഇന്നത്തെ നല്ല വ്യത്യാസം. (. രേഖാംശരേഖയിലേക്ക് "കുഅദ്രതുസ്") ഉദാഹരണത്തിന്, അവൻ തന്റെ കത്ത് ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ നിയുക്ത അറിയപ്പെടാത്ത ഒരു സ്ക്വയർ, പിന്നെ ക്യൂബ് - കത്ത് സി (ചെക്കന് "ചുബുസ്".). ഈ ചിഹ്നങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അസുഖകരമായ തോന്നുന്നില്ല, പക്ഷേ അവിടെ ലീനിയർ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും സമവാക്യങ്ങളെ ഒരു സിസ്റ്റം എഴുതാൻ ഏറ്റവും വേഗത്തിൽ ആയിരുന്നു.

എന്നാൽ, പരിഹാരം നിലവിലുള്ള രീതികൾ ഒരു നിരാശരാക്കി ഗണിതജ്ഞർക്കും മാത്രം നല്ല വേരുകൾ വിചാരിക്കുന്നു ആയിരുന്നു. ഒരുപക്ഷേ ഈ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും പ്രായോഗികമായ ഇല്ല എന്ന് ഇതിന് കാരണം. ഏതെങ്കിലും ഒരു വഴി, എന്നാൽ ആദ്യം പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട് നെഗറ്റീവ് വേരുകൾ 16 നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതം അധികരം തര്തഗ്ലിഅ, ഗെരൊലമൊ ചര്ദനൊ റഫേലിന്റേയും ഏണെസ്റ്റോ ശേഷം തുടങ്ങി. ഒരു നൂതന രൂപം, പരിഹാരം പ്രധാന രീതി Quadratic സമവാക്യങ്ങൾ (ദിസ്ച്രിമിനംത് വഴി) ദെക്കാർത്ത് ന്യൂട്ടന്റേയും പ്രവൃത്തികൾ വഴി മാത്രമേ 17 നൂറ്റാണ്ടിൽ സ്ഥാപിതമായ.

18 നൂറ്റാണ്ടിന്റെ മദ്ധ്യത്തിൽ സ്വിസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഗബ്രിയേൽ ക്രാമറും എളുപ്പം ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഉണ്ടാക്കുവാൻ ലഭിച്ചു. ഈ രീതി പിന്നീട് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഈ ദിവസം ഞങ്ങൾ അത് ഉപയോഗിക്കാൻ നാമകരണം ചെയ്തു. എന്നാൽ അല്പം പിന്നീട് ക്രാമർ ന്റെ സംവാദം രീതി, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നാം സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് വേറിട്ട് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ അവരുടെ പരിഹാരങ്ങളും ചർച്ച ചെയ്യും.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ - വേരിയബിൾ (ങ്ങൾ) ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമായ സമവാക്യം. അവർ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും വകയാണ്. ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു ₁ * X _{1 2 *,} x ₂ + ... _എൻ * X _n = ബി: സാധാരണ രൂപത്തിൽ എഴുതിയ. ഈ ഫോം ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റങ്ങൾ മാട്രിക്സുകളുടെയും തയ്യാറെടുപ്പ് വരും സമർപ്പിക്കൽ.

ലീനിയർ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു സിസ്റ്റം

ഈ പദത്തിന്റെ നിർവചനം ഇതാ: സാധാരണ ഉന്ക്നൊവ്ംസ് ജനറൽ പരിഹാരമായി ആ സമവാക്യങ്ങളെ ഒരു സെറ്റ്. സാധാരണഗതിയിൽ, സ്കൂളിൽ എല്ലാ രണ്ടോ മൂന്നു സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു സിസ്റ്റം തീർന്നു. എന്നാൽ നാലോ അതിലധികമോ ഘടകങ്ങളുമായി സംവിധാനങ്ങൾ. അതിനാൽ ആ പിന്നീട് പരിഹരിക്കാൻ സമീപം അവരെ എഴുതി എങ്ങനെ ആദ്യം നോക്കാം. 1,2,3 ഇത്യാദി: ഒന്നാമതായി, എല്ലാ വേരിയബിളുകൾ അനുബന്ധ സൂചിക ഉപയോഗിച്ച് X എഴുതിയ എങ്കിൽ ലീനിയർ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും സമവാക്യങ്ങളെ സിസ്റ്റം മെച്ചപ്പെട്ട നോക്കും. ഒരു ₁ * X _{1 2 *,} x ₂ + ... _എൻ * X _n = ബി: രണ്ടാമതായി, കാനോനിക ഫോം എല്ലാ സമവാക്യങ്ങൾ നടപ്പാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ നടപടികൾ ശേഷം, ഞങ്ങൾ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം നിങ്ങളെ പറയാൻ കഴിയും. ആ വളരെ ഹാൻഡി മാട്രിക്സ് വരും.

മാട്രിക്സ്

മാട്രിക്സ് - വരികളും നിരകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ഒരു മേശ, അതിന്റെ ഘടകങ്ങൾ അവരുടെ വിഭജനത്തിൽ ആകുന്നു. ഈ ഒരു പ്രത്യേക മൂല്യം അല്ലെങ്കിൽ വേരിയബിൾ ആകാം. മിക്കപ്പോഴും, സബ്സ്ക്രിപ്റ്റുകള് (ഉദാ ₁₁ അല്ലെങ്കിൽ ₂₃ നന്നായി) താഴ്ഭാഗത്ത് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്ന് ഘടകങ്ങൾ നിർണയിക്കാനുള്ള. നിര - ആദ്യ സൂചിക വരി നമ്പർ, രണ്ടാം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മുകളിൽ മറ്റ് എന്തെങ്കിലും ഗണിത ഘടകമായി മട്രീസസ് മുകളിൽ വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ കഴിയും. അങ്ങനെ നിങ്ങൾക്ക്:

1) കുറയ്ക്കുക മേശ ഒരേ വലിപ്പം ചേർക്കുക.

2) ഏതെങ്കിലും നമ്പർ അല്ലെങ്കിൽ വെക്റ്റർ വരെ മെട്രിക്സ് Multiply.

3) TRANSPOSE: നിരകൾ നിരകളിലെ മാട്രിക്സ് ലൈനുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തിയോ ഒപ്പം - വരിയിൽ.

4) വരികളുടെ എണ്ണം അവരിൽ ഒരു നിരകളുടെ നമ്പരിലേക്ക് തുല്യമാണ് എങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് Multiply.

അവർ ഭാവിയിൽ ഉപകാരപ്രദമാണെങ്കിലും വിശദമായി, ഈ വിദ്യകൾ ചർച്ച. മാട്രിക്സ് കുറയ്ക്കുക കൂടാതെ വളരെ ലളിതമാണ്. ഞങ്ങൾ ഒരേ വലിപ്പം മാട്രിക്സ് എടുത്തു ശേഷം, ഒരു ടേബിൾ ഓരോ മൂലകം മറ്റെല്ലാ ഘടകം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ നാം (കുറയ്ക്കേണ്ട) ഈ ഘടകങ്ങൾ രണ്ടു (അവർ തങ്ങളുടെ മട്രീസസ് ഒരേ നിലത്തു നിൽക്കുന്ന പ്രധാനമാണ്) ചേർക്കുക. മാട്രിക്സ് അല്ലെങ്കിൽ വെക്റ്റർ എണ്ണം പെരുകുമ്പോൾ നിങ്ങൾ കേവലം ആ എണ്ണം (അല്ലെങ്കിൽ വെക്റ്റർ) പ്രകാരം മാട്രിക്സ് ഓരോ ഘടകം വർദ്ധിപ്പിക്കും. ത്രംസ്പൊസിതിഒന് - വളരെ രസകരമായ ഒരു പ്രക്രിയ. അവനെ യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ, ഒരു ടാബ്ലെറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഫോൺ ഓറിയന്റേഷൻ മാറ്റുമ്പോൾ, ഉദാഹരണത്തിന് കാണാൻ ചിലപ്പോൾ വളരെ രസകരമായ. ഡെസ്ക്ടോപ്പിൽ ഐക്കണുകൾ ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ്, സ്ഥാനവും ഒരു മാറ്റത്തിനും, അത് മാറ്റിയ മേന്മ മാറുന്നു, എന്നാൽ ഉയരവും കുറയ്ക്കുന്നു.

ഞങ്ങളെ പോലുള്ള കൂടുതൽ ഒരു പ്രക്രിയ പരിശോധിക്കാം ഗുണിത. അവൻ ഞങ്ങളെ പറഞ്ഞു ആണെങ്കിലും, ഉപയോഗപ്രദവുമായ അല്ല, പക്ഷേ അത് ഉപയോഗപ്രദമായിരിക്കും അറിഞ്ഞിരിക്കുക. രണ്ട് മെട്രിക്സുകളുടെ മാത്രം ഒരു പട്ടികയിലെ നിരകളുടെ എണ്ണം മറ്റ് വരികളുടെ എണ്ണം തുല്യമോ ആയ അവസ്ഥ സാധ്യതയുണ്ടെന്ന് വർദ്ധിപ്പിക്കും. ഇപ്പോൾ ഒരു മാട്രിക്സ് ലൈൻ ഘടകങ്ങളും ഇതേ നിരയുടെ മറ്റ് ഘടകങ്ങൾ എടുത്തു. (: ഒരു * ബി _{11 12} + ₁₂ * ബി ₂₂ അതായത്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഘടകങ്ങൾ ₁₁ ഉം ₁₂ ഉം ₁₂ ബി ₂₂ ബി ഒരു ഉൽപ്പന്നം തുല്യമോ _{ആയിരിക്കും)} പരസ്പരം പെരുക്കി അതിന്റെ _{തുകയെ.} അങ്ങനെ, ഒരു മേശ ഇനം, അതു സമാനമായ ഒരു രീതി കൂടുതൽ നിറഞ്ഞു.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളെ സംവിധാനങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാൻ പരിഗണിക്കുന്ന കഴിയും.

ഗോസ്

ഈ തീം സ്കൂളിൽ നടക്കുന്നത് തുടങ്ങി. നമുക്ക് നല്ലവണ്ണം "രണ്ട് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളെ സിസ്റ്റം" എന്ന ആശയം അറിയുന്നു അവരെ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാൻ അറിയുന്നു. എന്ത് സംഭവിക്കും സമവാക്യങ്ങളെ എണ്ണം രണ്ട് വലിയവൻ? ഇത് നമ്മെ സഹായിക്കും ഗോസ് രീതി.

തീർച്ചയായും, ഈ രീതി സിസ്റ്റം ഒരു മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കുന്നു എങ്കിൽ മനുഷ്യന് തന്നെയാണ്. എന്നാൽ നിങ്ങൾ അത് പരിവർത്തനം അതിന്റെ സ്വന്തം തീരുമാനമെടുക്കാൻ കഴിയില്ല.

അതിനാൽ, ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ ഗോസ് ഒരു സിസ്റ്റം അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാൻ? വഴിയിൽ, ഈ രീതി എങ്കിലും അവനെ പേരിലാണ് എന്നാൽ പുരാതന കാലത്തെ അത് കണ്ടെത്തിയത്. ഗോസ് സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പുറത്തു കൊണ്ടുപോയി ഒരു ഓപ്പറേഷൻ, ഒടുവിൽ ഫോം എഛെലൊന് ചെയ്യാൻ കളുമായി ഫലം ഉണ്ട്. അത്, നിങ്ങൾ കഴിഞ്ഞ സമവാക്യം ആദ്യ നിന്ന് (ശരിയായി സ്ഥാപിക്കുക എങ്കിൽ) top-down ചെയ്യേണ്ടത് ഒരു അജ്ഞാത വഹിച്ചു. - രണ്ടാം മൂന്നു ഉന്ക്നൊവ്ംസ്, - മൂന്നാം രണ്ട് - ഒരു ആദ്യ: മറ്റൊരു തരത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ, പറയുക, മൂന്നു സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിച്ചു ഉറപ്പാക്കുക വേണം. പിന്നെ, കഴിഞ്ഞ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം അജ്ഞാത, കണ്ടെത്താൻ രണ്ടാം ആദ്യ സമവാക്യം അതിന്റെ മൂല്യം വേദവാക്യം കൂടുതൽ ശേഷിക്കുന്ന രണ്ടു ചരങ്ങളുടെ കണ്ടെത്താൻ.

ക്രാമറും ഭരണം

ഈ ടെക്നിക്കുകളും വികസനത്തിനായി പുറമേ കഴിവുകൾ, മാട്രിക്സ് കുറയ്ക്കല്, അതുപോലെ determinants കണ്ടെത്താൻ കഴിയും ആവശ്യം അവഗാഹം നിർണായകമാണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ അസുഖകരമായ ആണെങ്കിൽ ഇത് എല്ലാവരും എങ്ങനെ, അത് പഠിക്കാനും പരിശീലനം അത്യാവശ്യമാണ് അറിയുന്നില്ല. ചെയ്യുന്നത്

ഈ രീതി സാരാംശം, എങ്ങനെ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ ക്രാമറും ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കാൻ, അങ്ങനെ ചെയ്യാൻ എന്താണ്? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്. നാം സംഖ്യകളുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് പണിയാൻ വേണമെങ്കിൽ (എപ്പോഴും) ലീനിയർ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും സമവാക്യങ്ങളെ സിസ്റ്റം ഗുണകങ്ങൾ. ഈ ചെയ്യുന്നതിന്, അജ്ഞാത എണ്ണം എടുത്തു ഞങ്ങൾ അവർ സിസ്റ്റം രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് ചെയ്യപ്പെട്ട ക്രമത്തിൽ ഒരു മേശ ക്രമീകരണമാണ്. "-" എണ്ണം ഒരു അടയാളം മുമ്പ് എങ്കിൽ, പിന്നെ ഞങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് ഗുണകമായ എഴുതുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ (- ഗുണകങ്ങളുടെയും എല്ലാ ഉന്ക്നൊവ്ംസ് സമവാക്യം അവകാശം ഒരു നമ്പർ, വിട്ടാൽ കാനോനിക്കൽ ഫോമിലേക്ക് കുറച്ചു അവസ്ഥയാണ് തീർച്ചയായും,) സമ ചിഹ്നത്തിനു ശേഷം എണ്ണം ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല ഉന്ക്നൊവ്ംസ് ഗുണകങ്ങൾ ആദ്യ മെട്രിക്സ്, ഉണ്ടാക്കി. ഓരോ വേരിയബിൾ ഒരു - പിന്നെ കുറച്ച് മെട്രിക്സ് വരുത്തുകയും വേണം. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, ആദ്യ മെട്രിക്സ് ഒരു നിരയായി സമ ചിഹ്നത്തിനു ശേഷം ഗുണകങ്ങളുടെയും ഓരോ നിര നമ്പറുകൾ മാറ്റപ്പെടും. അങ്ങനെ നാം ഏതാനും മട്രീസസ് നേടുകയും പിന്നീട് അവരുടെ determinants കണ്ടെത്താൻ.

ഞങ്ങൾ യോഗ്യത കണ്ടെത്തി ശേഷം, അത് ചെറിയ തുടർന്ന്. നാം ഒരു പ്രാരംഭ മാട്രിക്സ് ഉണ്ട്, വ്യത്യസ്ത വേരിയബിളുകൾ രൂപീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് നിരവധി കഥകളിയുടെ മട്രീസസ്, ഉണ്ട്. ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹാരം ലഭിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ പട്ടികയുടെ പ്രാഥമിക ഡിറ്റർമിനന്റ് ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പട്ടികയുടെ നിർണ്ണായകഘടകം വിഭാഗിക്ക. ഫലമായി നമ്പർ വേരിയബിൾ മൂല്യം ആണ്. അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ എല്ലാവരും ഉന്ക്നൊവ്ംസ് കണ്ടെത്താൻ.

മറ്റ് രീതികൾ

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരം ലഭ്യമാകാൻ വേണ്ടി നിരവധി രീതികൾ ഉണ്ട്. Quadratic സമവാക്യങ്ങൾ വ്യവസ്ഥിതിയുടെ പരിഹാരംകാണാനുള്ള, കൂടാതെ മെട്രിക്സ് ഉപയോഗം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു വേണ്ടി ഉപയോഗിക്കുന്ന, എന്ന് പറയപ്പെടുന്ന ഗോസ്-ജോർദാൻ രീതി, ഉദാഹരണത്തിന്. ലീനിയർ ബീജീയഗ്രൂപ്പുകളും സമവാക്യങ്ങളെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ ഒരു ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നത്തിലെ രീതി ഉണ്ട്. അവൻ എളുപ്പത്തിൽ എല്ലാ കമ്പ്യൂട്ടറുകളിലും അനുയോജ്യമാകുന്നു കമ്പ്യൂട്ടർ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സങ്കീർണ്ണമായ കേസുകളിൽ

സമവാക്യങ്ങൾ എണ്ണം ചരങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറവാണ് എങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണത സാധാരണയായി സംഭവിക്കുന്നത്. പിന്നെ ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം വിരുദ്ധമായി (അതായത്, ഒരു വേരുകൾ), അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ തീരുമാനങ്ങൾ എണ്ണം അനന്തതയിലേക്ക് കുറവും, അല്ലെങ്കിൽ പറയാം. രണ്ടാം കേസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ - അത് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരമാകുന്നു എഴുതാൻ അത്യാവശ്യമാണ്. ഇത് ഒരു വേരിയബിൾ ഉൾപ്പെടും.

തീരുമാനം

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ അവസാനിക്കുമ്പോൾ. ചുരുക്കത്തില്: നാം എന്തു സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് മനസ്സിലാക്കേണ്ട, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു സിസ്റ്റം ജനറൽ പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ പഠിച്ചു. കൂടാതെ ഞങ്ങൾ മറ്റ് ഓപ്ഷനുകൾ പരിഗണിക്കും. ഗോഷ്യൻ ഒഴിവാക്കുന്ന: നാം ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളെ സംവിധാനങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാൻ കലിയിളകും ക്രാമറും ഭരണം. ബുദ്ധിമുട്ടേറിയ കേസുകൾ പരിഹാരംകാണാനുള്ള മറ്റു വഴികൾ സംസാരിച്ചു.

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ പ്രശ്നം കൂടുതൽ വിപുലമാണ്, മികച്ച അത് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയണമെങ്കിൽ നാം പ്രത്യേക സാഹിത്യം കൂടുതൽ വായിക്കാൻ നിർദേശിക്കുന്നത്.