ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ. തീരുമാനം ഉദാഹരണ

ഒരു വരി ചിന്തിക്കുക.

7 28 112 448 1792 ...

മുൻ കൃത്യമായി നാലു തവണ കൂടുതൽ ഗണത്തിലെ ഏത് മൂല്യം കടുത്തു വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ട്, ഈ പരമ്പര ഒരു പ്രതീക്ഷിക്കാം.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ സംഖ്യകളുടെ അനന്തമായ അനുക്രമം, താഴെ ചില നിശ്ചിത എണ്ണം ഗുണിക്കുന്നത് മുകളിലെ നിന്നും ലഭിച്ച എന്നതാണ് ഇതിൽ പ്രധാന സവിശേഷത വിളിച്ചു. ഈ താഴെ സമവാക്യം പ്രകാരമുള്ള പ്രകാശിപ്പിക്കുന്ന.

_{സെഡ് +1 = സെഡ് · Q} , z എവിടെ - തിരഞ്ഞെടുത്ത ഘടകത്തിന്റെ എണ്ണം.

അതിൻപ്രകാരം, z ∈ എൻ

9 ഗ്രേഡ് - സ്കൂൾ ജ്യാമിതീയ കാലഗതിയുടെ പഠനം ഈ സന്ദർഭത്തിൽ. ഉദാഹരണങ്ങൾ ആശയം മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കും:

0.25 0.125 ൦.൦൬൨൫ ...

18 ഫെബ്രുവരി 6 ...

ഈ ഫോർമുല അടിസ്ഥാനമാക്കി പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഛേദം എന്ന പുരോഗതിയെ കണ്ടെത്തിയേക്കാം:

എന്നുള്ളതു Q, അല്ലെങ്കിൽ ബി _z പൂജ്യമായിരിക്കരുത്. കൂടാതെ, ഘടകങ്ങളും ഓരോ നമ്പറുകളുടെ പരമ്പരയാണ് പുരോഗതിയെ പൂജ്യം പാടില്ല.

അതിൻപ്രകാരം, ഒരു നമ്പർ അടുത്ത കാണാൻ, Q, അവസാനത്തെ വർദ്ധിപ്പിക്കും.

ഈ പുരോഗതിയെ നിശ്ചയിക്കുന്നതിന് അത് ആദ്യ ഘടകം ഡിനോമിനെറ്റര് വ്യക്തമാക്കണം. അതിനു ശേഷം താഴെ അംഗങ്ങൾക്കും അവരുടെ തുക ഏതെങ്കിലും കണ്ടെത്താൻ സാധ്യമാണ്.

ഇനം

Q ഒരു _{1 അനുസരിച്ച്,} ഈ പുരോഗതിയെ പല തരം തിരിച്ചിട്ടുണ്ട്:

• ഒരു ജ്യാമിതീയ കാലഗതിയുടെ ഓരോ തുടർച്ചയായി ഘടകം ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് വർദ്ധിച്ചു - ഒരു _{1 Q,} ഒരു, പിന്നെ ഒരു കൂട്ടം വലിയവൻ. ഉദാഹരണങ്ങൾ അതിന്റെ താഴെ വിശദമാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: ₁ = 3, Q = 2 - ഐക്യം വലിയ രണ്ട് പരാമീറ്ററുകൾ.

അപ്പോൾ സംഖ്യകളുടെ ഒരു സീക്വൻസ് പോലെ എഴുതാം:

3 6 12 24 48 ...

• എങ്കിൽ | ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ | ജ്യാമിതീയ കാലഗതിയുടെ കുറയുകയും - ഒരു കുറവ്, അതായത്, ഹരണം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം തുല്യമാണ്, സമാനമായ ഉപാധികളോടെ പ്രതീക്ഷിക്കാം. ഉദാഹരണങ്ങൾ അതിന്റെ താഴെ വിശദമാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: ₁ = 6, Q = 1/3 - ഒരു ₁ ഒരു വലിയവൻ, Q - കുറവ്.

അപ്പോൾ സംഖ്യകളുടെ ഒരു അനുക്രമം താഴെ പറയുന്നു എഴുതാം:

ജൂൺ 2 2/3 ... - ഏതൊരംഗത്തെയും കൂടുതൽ ഘടകങ്ങൾ അത് താഴെ, 3 തവണ ആണ്.

• മുയൽ. Q <0, നിരന്തരം പരിഗണിക്കാതെ ഒരു ₁ പ്രത്യനുധാര അനുക്രമവും നമ്പറുകൾ _{ദൃഷ്ടാന്തങ്ങൾ,} ഏതെങ്കിലും കൂടുകയോ കുറയുകയോ ഘടകങ്ങൾ എങ്കിൽ.

ഉദാഹരണം: ₁ = -3, Q = -2 - രണ്ടും പൂജ്യം താഴെയാണ്.

അപ്പോൾ സംഖ്യകളുടെ ഒരു സീക്വൻസ് പോലെ എഴുതാം:

3, 6, -12, 24, ...

പമാണസൂതം

സുഖ ഉപയോഗത്തിനായി, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പല ജ്യാമിതീയ പ്രൊഗ്രെഷിഒംസ് ഉണ്ട്:

• ഫോർമുല ഇസഡ് ാം കാലാവധി. കഴിഞ്ഞ നമ്പറുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ തന്നെ ഒരു പ്രത്യേക എണ്ണം ഘടകത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: Q = 3, ഒരു = ₁ 4. ഒരു നാലാം ഘടകം പുരോഗതിയെ കണക്കുകൂട്ടാൻ ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം: ഒരു = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• ആരുടെ നമ്പറിലേക്ക് തുല്യമാണ് ആദ്യ ഘടകങ്ങൾ, ആകെത്തുക Z ചെയ്യുക. ഒരു _Z വരെ ക്രമത്തിൽ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും തുക കണക്കുകൂട്ടൽ ഉൾകൊള്ളുന്നില്ല അനുവദിക്കുന്നു.

≠ 0, അങ്ങനെ, Q അല്ല 1 - (Q 1) മുതൽ (1- Q) പിന്നെ, ഡിനോമിനേറ്റർ ആണ്.

ശ്രദ്ധിക്കുക: Q = 1 ചെയ്താൽ പുരോഗതിയെ അന്തമില്ലാതെ നമ്പർ ആവർത്തിക്കാതിരിക്കാൻ ഒരു എണ്ണം വരുമായിരുന്നു.

തുക വളരെയധികം ഉദാഹരണങ്ങൾ: ₁ = 2, Q = -2. എസ് _{5 കണക്കാക്കുക.}

പരിഹാരം: എസ് ₅ = 22 - കണക്കുകൂട്ടൽ ഫോർമുല.

• തുക എങ്കിൽ | Q | <1 എപ്പോൾ z അനന്തമായി കുറവുമാണ്.

ഉദാഹരണം: ₁ = _2, Q = 0.5. തുക കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: എസ് _z = 2 X = 4

ഞങ്ങൾ മാനുവൽ പല അംഗങ്ങൾ തുക കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് വാസ്തവത്തിൽ നാലു പ്രതിജ്ഞാബദ്ധമാണ് കാണും.

എസ് _z = 2 + 1 0.5 + 0.25 + ൦,൧൨൫ + ൦.൦൬൨൫ = ൩.൯൩൭൫ 4

ചില പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

• ഒരു സ്വഭാവം പ്രോപ്പർട്ടി. ഇനിപ്പറയുന്ന എങ്കിൽ അത്, പിന്നെ സാംവ്യയിക പരമ്പര നൽകിയ ഏതെങ്കിലും z- നായി താങ്ങി - ഒരു ജ്യാമിതീയ കാലഗതിയുടെ:

_സെഡ് ² = ഒരു _-1 · ഒരു _{Z + 1}

• ഇത് ഏതെങ്കിലും നമ്പറിന്റെ സ്ക്വയർ അവർ മൂലകം നിന്നും തുല്യ എങ്കിൽ, ഏതൊരു തുടർച്ചയായി മറ്റ് രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ കൂടാതെ മുഖാന്തരം വളരെയധികം ആണ് ആണ്.

² _സെഡ് = _{സെഡ് - ടി} ² ₊ ഒരു _Z + _T ² എവിടെ ടി - ഈ നമ്പറുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം.

• ഘടകങ്ങൾ Q തവണ സമയവ്യത്യാസം.
• കാലഗതിയുടെ മൂലകങ്ങളുടെ ലൊഗരിഥ്മ്സ് പോലെ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം കഴിഞ്ഞ ഒരു അധികം അവരിൽ ഓരോ കൂടുതൽ ഒരു വിജയം രൂപം എന്നാൽ ഗണിത, എന്നതാണ്.

ചില ക്ലാസിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങൾ

മെച്ചപ്പെട്ട എന്തു ഗ്രേഡ് 9 വിധിയുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഒരു ജ്യാമിതീയ നീങ്ങി സഹായിക്കും മനസ്സിലാക്കുവാനും.

• നിബന്ധനകളും വ്യവസ്ഥകളും: ₁ = 3, ₃ = 48 ക്വി കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: മുൻ Q കൂടുതൽ ഓരോ തുടർച്ചയായി ഘടകം സമയം. ഇത് ഛേദം വഴി മറ്റു വഴി ചില ഘടകങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ അത്യാവശ്യമാണ്.

തൽഫലമായി, ₃ = Q ² · ₁

പകരം ചെയ്യുമ്പോൾ ക്വി = 4

• വ്യവസ്ഥകൾ: ₂ = 6, ഒരു = ₃ 12. കണക്കുകൂട്ടുക എസ് _6.

പരിഹാരം: ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അത് ഫോർമുല കയറി Q, ആദ്യ ഘടകാംശങ്ങളെയും പകരം കണ്ടെത്താൻ മതി.

ഒരു ₃ = Q · _{2 അപ്പോൾ,} ക്വി = 2

₂ = ക്വി · ഒരു _1, അങ്ങനെ ഒരു = ₁ 3

എസ് = ₆ 189

• · ഒരു ₁ = 10, Q = -2. പുരോഗതിയെ നാലാം ഘടകം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: ആദ്യം ഡിനോമിനെറ്റര് വഴി കൂടി നാലാം ഘടകം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ മതി.

₄ ³ = Q · ഒരു = ₁ -80

അപേക്ഷാ ഉദാഹരണം:

• ബാങ്ക് ക്ലയന്റ് പ്രകാരം ഓരോ വർഷവും പ്രിൻസിപ്പൽ തുക ക്ലയന്റ് എങ്കിലും അതു 6% ചേർക്കും 10,000 റൂബിൾസ്, തുക സംഭാവന ചെയ്തു. അക്കൗണ്ടിൽ 4 വർഷം ശേഷം എത്ര പണം ആണ്?

പരിഹാരം: 10 ആയിരം റൂബിൾസ് തുല്യമാണ് പ്രാരംഭ തുക. അതിനാൽ, ഒരു വർഷം അക്കൗണ്ട് നിക്ഷേപം ശേഷം തുക 10000 + 10000 = 10000 തുല്യമോ · 0.06 ആയിരിക്കും · 1.06

അതിൻപ്രകാരം, താഴെ പോലെ പോലും ഒരു വർഷം ശേഷം അക്കൗണ്ടിൽ തുക പ്രകടിപ്പിച്ച ചെയ്യും:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

അത്, ഓരോ വർഷവും തുക 1.06 തവണ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ട്, 4 വർഷം ശേഷം അക്കൗണ്ട് എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, ആദ്യം ഘടകം 10 ആയിരം തുല്യമോ ലഭിച്ച നാലാമത്തെ ഘടകം നീങ്ങി, ഡിനോമിനെറ്റര് 1.06 തുല്യമായ കണ്ടെത്താൻ മതി.

എസ് = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = ൧൨൬൨൫

ആകെത്തുക കണക്കുകൂട്ടലിൽ പ്രശ്നങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ജ്യാമിതീയ കാലഗതിയുടെ ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ ൽ. താഴെ പോലെ തുക കണ്ടെത്താനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം സജ്ജമാക്കുകയും ചെയ്യാം:

₁ = 4, Q = 2, എസ് _{5 കണക്കാക്കാൻ.}

പരിഹാരം: കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമായ ഡാറ്റ എല്ലാ കേവലം ഫോർമുല അവരെ വേദവാക്യം അറിയപ്പെടുന്നത്.

എസ് ₅ = 124

• ₂ = 6, ഒരു = ₃ 18. ആദ്യത്തെ ആറു ഘടകങ്ങൾ തുക കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം:

ഗെഒമ്. മുൻ Q തവണ അധികം അടുത്ത വലിയ ഗ്രൂപ്പുകളെ തമ്മിൽ പുരോഗതി, നിങ്ങൾ മൂലകം ഒരു ₁ ഡിനോമിനെറ്റര് Q അറിയേണ്ടതുണ്ട് തുക കണക്കുകൂട്ടാൻ ആണ്.

₂ · Q = ₃

Q = 3

അതുപോലെ, ഒരു _{1, 2} അറിയുന്നവനുമാകുന്നു Q കണ്ടെത്താൻ ആവശ്യം.

ഒരു ₁ · Q = ₂

₁ = 2

പിന്നീട് അത് ഫോർമുല തുക കയറി അറിയപ്പെടുന്ന ഡാറ്റ പകരം മതി.

എസ് ₆ = 728.